Webbc.ru

Веб и кризис
0 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Переменные потоки платежей

Методы финансовых и коммерческих расчетов

Глава 5. ПЕРЕМЕННЫЕ ПОТОКИ ПЛАТЕЖЕЙ

5.1. Ренты с постоянным абсолютным приростом платежей

В практике встречаются случаи, когда члены потоков платежей изменяются во времени. Такие изменения могут быть связаны с какими-либо обстоятельствами объективного порядка (например, условиями производства и сбыта продукции), а иногда и случайными факторами. Частным случаем такого потока является переменная рента. У последней члены потока изменяются по каким-то установленным (принятым, оговоренным и т.д.) законам или условиям развития. Если таких законов нет, то соответствующий поток можно назвать нерегулярным. Переменные потоки платежей встречаются относительно редко, во всяком случае существенно реже, чем постоянные.

Ниже рассматриваются несколько видов переменных рент, причем с меньшей детальностью, чем были обсуждены постоянные ренты. Основное внимание уделено принципиальным зависимостям, знание которых позволяет разработать расчетные формулы для любых конкретных видов рент. Что касается нерегулярного потока платежей, то он здесь не анализируется, поскольку это было осуществлено в гл. 4 — см. формулы (4.1) и (4.2).

Рента с постоянным абсолютным изменением членов во времени предполагает, что эти изменения происходят согласно арифметической прогрессии. Например, если выплачивается годовая рента постнумерандо, то размеры членов ренты образуют последовательность:

Величина t-гo члена такой ренты равна R + (t — l)a.

Определим наращенную сумму и современную стоимость ренты. Для этого вернемся к общей формуле современной стоимости потока, заменив в ней Rt на члены рассматриваемого ряда. Получим:

Умножим это равенство на (1 + i) и вычтем из обеих сторон полученного выражения соответствующие стороны равенства (5.1):

После несложных преобразований находим:

(5.2)

Напомним, что an;i — современная стоимость постоянной ренты постнумерандо с членом, равным 1. Нетрудно видеть, что полученный результат представляет собой современную стоимость постоянной ренты с членом (R + a/i) за вычетом поправочной величины nav n /i.

Наращенную сумму такой ренты легко получить, умножив (5.2) на (1 + i) n . После чего

(5.3)

Определим теперь влияние на современную стоимость ренты абсолютного прироста платежей. Из формулы (5.1) следует, что A линейно зависит от a (см. рис. 5.1). (A — современная стоимость потока платежей при нулевом их приросте.)

(5.4)

Полученная формула выгодно отличается от формулы (5.2) тем, что в ней показана роль каждого элемента взносов. Так, вклад «базового» платежа равен с, в свою очередь прирост платежей увеличивает современную стоимость ренты на ba. Аналогичным образом на основе формулы (5.3) получим линейную зависимость для S:

(5.5)

Как видим, коэффициенты b и b в формулах (5.4) и (5.5) существенно зависят от уровня процентной ставки. Например, при i = 10% и n = 10 годам имеем b = 22,891, а для ставки, равной 20%, и том же сроке находим b = 12,887.

Формулы (5.2) и (5.3) и их преобразования (5.4) и (5.5) получены для рент постнумерандо. Для рент пренумерандо находим:

(5.6)

(5.7)

Напомним, что — коэффициенты приведения и наращения дискретной постоянной ренты пренумерандо (см. параграф 4.5).

Пример 5.1. Платежи постнумерандо образуют регулярный во времени поток, первый член которого равен 15 млн. руб. Последующие платежи увеличиваются каждый раз на 2 млн. руб. Начисление процентов производится по ставке 20% годовых. Срок выплат — десять лет.

По условиям задачи: R = 15, а = 2, i = 20%, n = 10. Табличные значения коэффициентов a10;2 = 4,192472, v 10 = 0,161505. Таким образом, по формуле (5.2) получим:

Используя взаимозависимость A и S, находим:

S = 88,661 х 1,2 10 = 548,965 млн. руб. Или, применяя формулы (5.4) и (5.5):

Влияние изменений платежей здесь очевидно. Например, постоянная рента с R = 15 дает накопление в сумме около 390 млн. руб. Причем «вклад» прироста платежей в наращенную сумму составит почти 160 млн. руб., или примерно 20%.

Продолжим пример. Пусть теперь рента предполагает систематическое сокращение платежей на 1 млн. в Год. Тогда по формулам (5.4) и (5.5) находим:

В частном случае, когда прирост равен величине первого члена потока платежей, т.е. R = а, получим на основе формул (5.2) и (5.3):

Иногда при анализе переменных рент может возникнуть «обратная» задача: определение первого члена ренты R или ее прироста а по всем остальным заданным параметрам ренты. Например, когда известна сумма, которую нужно аккумулировать за n лет, и необходимо разработать конкретный график взносов. Решив (5.2) или (5.3) относительно R, находим (для годовых рент постнумерандо):

(5.8)

(5.9)

В свою очередь, если определяется размер прироста при заданном R, то:

(5.10)

(5.11)

p-срочная переменная рента с постоянным абсолютным приростом. В

этом случае последовательные выплаты равны:

Отдельный член этого ряда определяется как

t = 1,2. pn,

где t — порядковый номер члена ренты.

Для ренты постнумерандо находим при начислении процентов раз в году:

(5.12)

(5.13)

Пример 5.2. Ожидается, что сбыт продукции будет увеличиваться в течение двух лет — каждый квартал на 25 млн. руб. Первоначальный объем сбыта — 500 млн. руб. Определим наращенную сумму к концу срока при условии, что поступления денег — постнумерандо.

По условиям задачи R = 500, a/p = 25, i = 20%, n = 2, рп = 8. Наращенная сумма к концу двухлетнего периода составит:

Вопрос 1. Потоки с разовыми изменениями платежей;

Тема 7. Анализ переменных потоков платежей

Цель:Изучить понятие «переменный поток платежей» и формулы для расчета параметров переменных потоков. Рассмотреть потоки с разовыми изменениями платежей и непрерывные переменные потоки платежей.

Ключевые слова: переменный поток платежей, потоки с разовыми изменениями платежей, непрерывные переменные потоки платежей, наращенная величина потока платежей, современная величина потока платежей, сила роста.

Читать еще:  Платежный баланс рф 2012

Вопросы:

1. Потоки с разовыми изменениями платежей

2. Непрерывные переменные потоки платежей

В финансовых операциях возможны ситуации, когда величина платежа либо увеличивается, либо уменьшается с течением времени, например, под влиянием инфляции. Например, при заключении договоров аренды в условиях инфляции может предусматриваться периодическое увеличение платежа, компенсирующее негативное влияние изменения цен. Величина амортизационных отчислений может меняться в связи с изменением количества и стоимости основных фондов. Договор стандартного возрастающего страхования жизни предполагает ежегодный рост страховой суммы на величину страховой суммы первого года страхования. Для гарантии возврата взятого страхователем кредита используется стандартное убывающее страхование жизни. В такого рода случаях поток платежей представляет собой переменный аннуитет (ренту) и для определения будущей или приведенной стоимости аннуитета необходимо знать соответствующие формулы.. однако, когда члены аннуитета изменяются в соответствии с некоторыми законами, эти формулы упрощаются.

Предположим, что имеется аннуитет постнумерандо, платежи которого образуют арифметическую прогрессию с первым членом и разностью . В этом случае говорят о переменном аннуитете с постоянным абсолютным изменением его членов. Если число периодов равно , является процентной ставкой за базовый период, в соответствии с которой один раз в конце периода начисляются сложные проценты и период аннуитета совпадает с базовым, то наращенный денежный поток имеет вид: , , , ……., .

Если , то члены аннуитета возрастают.

Если , то члены аннуитета убывают и число этих членов должно удовлетворять неравенству , иначе можно получить отрицательные платежи, что лишено смысла.

Сложив наращенные члены аннуитета, сгруппировав отдельные слагаемые и умножив на в результате получим: .

Аналогичным образом можно получить оценки аннуитета для других ситуаций.

Пусть имеется аннуитет постнумерандо, платежи которого образуют геометрическую прогрессию с первым членом и знаменателем . В этом случае говорят о переменном аннуитете с постоянным относительным изменением его членов. Если является процентной ставкой за базовый период, совпадающий с периодом аннуитета, равно числу периодов и в конце каждого периода начисляются сложные проценты, то наращенный денежный поток имеет вид: , , …., , . И .

Если даже члены переменного аннуитета не образуют арифметическую и геометрическую прогрессии, то все равно во многих случаях оценка аннуитета может все же выполняться путем несложных расчетов с помощью финансовых таблиц.

Нерегулярные потоки платежей характеризуются присутствием хотя бы одного нерегулярного параметра: период ренты или размер платежа.

Для получения их обобщающих характеристик требуется прямой счет, т.е. вычисление соответствующих характеристик по каждому платежу и последующему их суммированию.

Однако в ряде случаев можно применять следующую формулу:

Потоки платежей

Потоки платежей весьма часто встречаются на практике: зара­ботная плата, плата за квартиру, ежемесячный взнос на счет в банк некоторой суммы, откладываемой для покупки квартиры, и т.д.

Как правило, разного рода финансовые операции предусмат­ривают не отдельные разовые платежи, а множество распределен­ных во времени выплат и поступлений. Совокупность ряда рас­пределенных во времени платежей принято называть потоком платежей или денежным потоком. Любая финансовая операция предполагает наличие двух потоков платежей: входящего — поступления (доходы) и исходящего — выплаты (расходы, вложе­ния). Эти потоки, а также поток процентных платежей, создавае­мый начислением процентов, формируют соответствующий денеж­ный фонд.

Поток называется конечным или бесконечным в зависимости от количества платежей в нем.

Пусть Рп = <Рк, tк> — поток платежей, где tK — момент време­ни, а Рк — платежи. Предполагается, что известна ставка процен­та i, обычно неизменная в течение всего потока.

Величиной потока в момент Т называется сумма платежей потока, дисконтированная к этому моменту

Величина Pп(0) называется современной величиной потока. Если есть последний платеж, то величина потока в момент этого платежа называется конечной величиной потока.

Пример 4.11, Имеем поток платежей Рп= ((-1000; 1), (1000; 2), (1800; 3), (2500; 4)>. Найдем характеристики этого потока при 8% ставке.

Теперь найдем конечную величину потока

Поток платежей, все члены которого положительные величи­ны, а промежутки между платежами одинаковы, называют финан­совой рентой или просто рентой.

Временной интервал между двумя последовательными выпла­тами называется периодом ренты. Срок от начала первого перио­да до конца последнего называется сроком ренты. Различают два основных типа рент: безусловные и условные ренты. Безусловные ренты — это ренты с фиксированным периодом, т.е. даты первой и последней выплат определены до начала ренты. Условные рен­ты — ренты, в которых дата первой или последней выплаты зави­сит от некоторого события, например пенсия.

По количеству выплат членов ренты на протяжение года рен­ты делятся на годовые (выплаты раз в году) и m — срочные (m — количество выплат в году). При анализе производственных инве­стиционных процессов иногда применяются ренты с периодами, превышающими год. Перечисленные виды рент называются дис­кретными.

В финансовой деятельности встречаются и такие потоки пла­тежей, которые производятся столь часто, что их практически можно рассматривать как непрерывные.

Текущим значением ренты называется денежная сумма эквива­лентная множеству всех выплат в начальный момент ренты. Нара­щенным значением (суммой) ренты называется сумма, эквивалент­ная множеству всех выплат в конце всего срока ренты. Для обыч­ной ренты текущее значение определяется за один период до первой выплаты, а наращенное значение — в момент последней выплаты. Очевидно, что и текущее, и наращенное значения зависят от про­центной ставки, используемой в уравнении эквивалентности.

Читать еще:  Мероприятия по повышению платежеспособности

По количеству начислений процентов на протяжении года различают ренты с ежегодным начислением, с начислением п раз в году, с непрерывным начислением. Моменты начисления про­центов могут совпадать или не совпадать с моментами выплат членов ренты. Однако, расчеты значительно упрощаются, если два указанных момента совпадают. Ренты по этому признаку класси­фицируются на простые и общие соответственно.

Пример 4.12. Найти текущее и наращенное значение ренты с выплатами 1000 у.е. в конце каждого месяца в течение двух лет. Проценты начисляются ежемесячно по номинальной ставке 6% годовых.

Приведем временную диаграмму выплат (рис. 4.10).

12 3: Эффективная ставка за месяц

Если Рt наращенное значение простой обычной ренты, состо­ящей из n выплат, каждая в размере R с процентной ставкой i за период начисления, то уравнение эквивалентности для даты пос­ледней выплаты имеет вид:

Применяя к правой части уравнения формулу суммы членов геометрической прогрессии с первым членом R и знаменателем (1 + i), получим:

(4.3.3)

(4.3.4)

называется коэффициентом наращения простой обычной ренты.

Текущее значение ренты Р определяется из условия эквивален­тности для текущего и наращенного значения обычной ренты:

(4.3.5)

Коэффициент перед R в формуле (4.3.5) называется дисконти­рующим множителем обычной простой ренты.

Переходим к нашему примеру. По формуле (4.3.5) вычисляем текущее значение ренты:

Наращенное значение найдем по формуле (4.3.3):

По соотношению начала срока ренты и какого-либо момента времени, упреждающего начало ренты, ренты делятся на немед­ленные и отложенные, или отсроченные. Для отложенной ренты срок ренты начинается в некоторый момент в будущем и ее при­нято считать обычной.

Важным является различие рент по моменту выплат платежей в пределах периода. Если платежи осуществляются в конце пери­одов, то соответствующие ренты называют обыкновенными, или постнумерандо, если же платежи производятся в начале периодов, то их называют пренумерандо. Иногда контракты предусматри­вают платежи или поступления денег в середине периодов.

Для вычисления параметров произвольного потока платежей

и, в частности, ренты достаточно уметь составлять уравнение эк­вивалентности для заданного момента времени. Однако для про­извольного ряда выплат эта задача может оказаться трудоемкой. Поэтому для вычисления параметров общей ренты целесообраз­но преобразовать ее в эквивалентную простую ренту.

Для простоты восприятия изобразим временную диаграмму (рис. 4.11).

Для эквивалентности данных рент необходимо выполнение следующих условий:

Процентные ставки за периоды этих рент должны быть эк­вивалентны.

Эквивалентные этим рентам значения, соответствующие одному и тому же моменту времени, должны совпадать.

Из определения эквивалентности процентных ставок и перво­го условия имеем:

(4.3.6)

Приравнивая наращенные за год значения обеих рент, получим:

(4.3.7)

С учетом (4.3.6) формула (4.3.7) запишется так:

Подставляя сюда выражение для i, найденное из (4.3.6), полу­чим формулу для выплат простой ренты:

Пример 4.13. Заменить общую ренту сроком два года с выпла­тами 1000 у.е. в конце каждого полугодия и начислением процен­тов по кварталам по ставке 8% годовых простой рентой с поквар­тальными выплатами.

Временная диаграмма выплат приведена на рис. 4.12.

Известно, что Ro6 = 1000 у.е., n= 2, m = 4, j = 0,02. По формуле (4)3.8) имеем:

Поток платежей

Поток платежей — конкретная последовательность расчетных сделок по покрытию обязательств (отрицательный поток) и инкассированию задолженности (положительный поток) в определенный временной промежуток и с указанием объема и периода выплат.

Поток платежей: сущность, основные параметры

Поток платежей — неотъемлемый элемент финансовых сделок с ценными бумагами и инвестпроектов. Он является важной составляющей в управлении финансами компании, совершении кредитных сделок, проведении оценки недвижимости или бизнеса, в выборе альтернативных типов финансовых сделок и так далее.

Члены потока платежей могут иметь:

— положительный показатель (поступления);

— отрицательный показатель (платежи).

Временный интервал потока платежей может быть двух видов — неравным или равным.

К главным характеристикам потока платежей относится:

— наращенная сумма денежного потока — общий объем его членов с насчитанными на них процентами к дате завершения периода ренты;

— современный размер потока платежей — суммарный объем членов, приведенных к определенному временному промежутку, предшествующих началу потока платежей или совпадающих с ним.

Если члены платежей имеют одинаковый знак (направление), а промежутки времени между последовательностями выплат носят постоянный характер, то такой вид платежей носит название аннуитета, финансовой ренты.

Поток платежей: классификация

В практической деятельности используются разные виды потоков платежей. Все они классифицируются по следующим признакам:

1. По числу платежей членов ренты:

— годовые — платежи производится один раз в год (поток платежей может иметь временной период более года);

— срочные — выплаты осуществляются определенное (p) число раз в год.

2. По типу выплат:

— дискретные — выплаты производятся с заданной периодичностью (годовые и срочные платежи);

— непрерывные — частые платежи, которые не имеют четких границ.

3. По количеству начислений процентных выплат в течение определенно срока:

— с ежегодным начислением — начисление производится всего раз в году;

— с непрерывным начислением.

День, когда начисляется процент, не всегда совпадает с моментом совершения платежей.

4. По размеру членов потоки платежей бывают:

— постоянные — выплаты имеют идентичные размеры (наиболее популярный вид ренты);

Читать еще:  Платежи на открытый счет это

— переменные. Члены таких платежей могут менять свои размеры в течение определенных временных промежутков, следуя определенным законам, к примеру, геометрической или арифметической прогрессии.

5. По вероятности совершения платежей:

— веерные — потоки платежей (ренты), которые должны выплачиваться при покрытии задолженности. Количество членов веерных платежей точно известно;

— условные. Здесь потоки платежей зависят от определенного события, имеющего случайный характер. Число платежей заранее неизвестно. Один из видов страховых рент — страховые потоки платежей, применяемые в личном и имущественном страховании.

— потоки с конечным количеством членом (ограниченная рента). Срок действия ограниченного потока платежей оговаривается заранее;

— бесконечные потоки платежей (вечные ренты). Бесконечный поток платежей характерен для долгосрочных сделок, когда период операции и сроки функционирования ограничены конкретными датами. Пример вечного потока платежей — погашение бессрочного облигационного займа.

7. По отношению начала потока платежей и точной даты, упреждающей день, когда стали производиться выплаты (к примеру, даты заключения договора, начала его действия и так далее):

— немедленные. Платежи производятся сразу;

— отсроченные — допускается несущественная отсрочка перед началом выплат. Пример отсроченного потока платежей — наличие льготного периода с погашением долга после его завершения.

8. По регулярности платежей потоки платежей делятся на:

— регулярные. Временные промежутки между выплатами имеют идентичную продолжительность, а члены потока — один знак;

— нерегулярные. Промежутки времени между выплатами имеют разную продолжительность, а члены платежей — разные знаки. Составляющими нерегулярного потока могут быть отрицательные платежи и положительные поступления.

8. По моменту выплат потоки платежей бывают:

— постунумерандо — выплаты осуществляются по завершении определенного периода;

— пренумерандо — платежные операции производятся в начале каждого временного промежутка. В пренумерандо на один период начисления процентных выплат больше;

— в середине срока. Платеж осуществляется в середине оговоренного срока.

Обобщающие параметры потоков платежей

Тема 2. Потоки платежей

Краткое содержание раздела:

Понятие финансового потока. Приведенная и наращенная величины финансового потока. Средний срок финансового потока. Непрерывные потоки платежей.

Регулярные потоки платежей. Обыкновенные ренты. Ренты постнумерандо и пренумерандо. Коэффициенты приведения и наращения рент. Связь между приведенной величиной и наращенной суммой аннуитета. Связь между коэффициентами приведения и наращения рент пренумерандо и постнумерандо.

Расчет параметров ренты.

Вечные, кратные, срочные ренты. р – срочная рента (случаи k = 1, , k = p ). Связь между приведенной и наращенной величинами p – срочной ренты (случаи k = 1, , k = p ). Непрерывные ренты. Связь между приведенной и наращенной величинами произвольных рент.

Сравнение финансовых потоков и рент. Общий принцип сравнения финансовых потоков и рент. Сравнение годовых и срочных рент. Конверсия рент. Замена одной ренты другой. Изменение параметров ренты. Замена обычной ренты срочной. Консолидация рент. Выкуп ренты. Рассрочка платежа.

2.1. Потоки платежей

Современные финансово-банковские операции часто предполагают не разовые платежи, а некоторую их последовательность во времени. Примеры: погашение задолженности в рассрочку, выплата пенсии, взносы на расчетный счет и др. Такого рода последовательности называют потоками платежей.

Поток платежей, все члены которого положительны, а временные интервалы между платежами одинаковы, называют финансовой рентой или аннуитетом.

Виды рент:

1) обычная годовая – платежи поступают один раз в год,

2) р-срочная – платежи поступают р раз в году,

3) верные и условные (например, кредит – верная рента, пенсия – условная),

4) немедленные, отложенные, отсроченные – отличаются по началу выплат,

5) пренумерандо (выплаты в начале периода) и постнумерандо (выплаты в конце периода).

Основные характеристики рент;

— член ренты R – размер отдельного (годового) платежа,

— период ренты – временной интервал между последовательными платежами (число платежей в году – p, количество начислений процентов в году – m),

— срок ренты n – время от начала первого периода ренты до конца последнего,

— процентная ставка i (j).

Решение.

Пример (билет № 18).В течение 5 лет в конце каждого полугодия на расчетный счет поступают равными долями платежи из расчета 8 млн.руб. в год, на которые ежеквартально начисляются проценты из расчета 20 % годовых. Требуется определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока. Найти размер платежей, при которых эта же сумма на расчетном счете образуется за 4 года.

Решение.

Пример (билет № 9)*.Фирма в качестве компенсации работникам за причиненный им ущерб должна выплатить 100 млн. руб. в течение 25 лет. Платежи должны производиться равномерно в течение этого периода – в конце каждого квартала. Найти реальную (современную) стоимость данной компенсации для фирмы, если принять годовую ставку сложных процентов на уровне 10 %.

Решение.

2.2. Практические приложения

Актуарный метод

Ссуда выдана на период Т, в течение которого предполагаются 2 промежуточных платежа:

1) за период [0, ] сумма выросла до ; в момент времени вносится первый платеж , который включает проценты и часть основного долга; остаток долга – = ;

2) за период [ , ] сумма выросла до ; в момент времени вносится второй платеж , который включает проценты и часть основного долга; остаток долга – = ;

3) за период [ , ] сумма выросла до ; в момент времени вносится последний платеж = , который погашает весь долг.

Если долга обнуляется, то операция называется сбалансированной,а ее контур является замкнутым.

Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector