Webbc.ru

Веб и кризис
3 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Анализ и построение зависимостей

ПОСТРОЕНИЕ И АНАЛИЗ СТАТИСТИЧЕСКИХ ЗАВИСИМОСТЕЙ МЕЖДУ ВХОДНЫМИ И ВЫХОДНЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ

Лекция 3

Одной из наиболее сложной задачей обработки результатов наблюдений за системой является установление причинно-следственных связей, существующих между входными факторами, действующими на систему, и выходными переменными, описывающими результаты ее функционирования.

Решение этой задачи осуществляется с помощью ряда методов, объединенных общим названием — методы статистического анализа. К ним относятся дисперсионный, регрессионный, корреляционный, факторный анализы и т.п. С точки зрения учета влияния фактора времени на результаты наблюдений они делятся на методы статического ( без учета t ) и динамического ( с учетом t ) статистического анализа. Мы ограничимся рассмотрением только методов статического статистического анализа.

Входные переменные , характеризующие причины, влияющие на поведение системы, будем называть факторами, а выходные переменные y — результатом ( результатом наблюдений, откликом ).

В ходе статистического анализа необходимо ответить на следующие вопросы :

1. Зависят ли результаты y от факторов и какова степень этой зависимости.

2. Влияние каких факторов на результаты существенно, а каких — нет.

3.Можно ли сократить число факторов, используемых при анализе, и каких именно.

4. Какой вид имеет зависимость ( взаимосвязь ) между факторами и результатом.

5. Можно ли и как по результатам определить факт действия того или иного фактора. ( Задача распознавания ).

Ответы на вопросы 1 — 3 могут быть получены методами дисперсионного, корреляционного, регрессионного и факторного анализа, на вопрос 4 — регрессионного и корреляционного с применением МНК, на вопрос 5 — теория классификации и распознавания образов.

Мы ограничимся рассмотрением задач 1 — 4.

При проведении статистического анализа будем рассматривать два типа факторов — качественные и количественные.

Качественными называются факторы, характеристики которых не выражаются числовым показателем. Например, тип прибора, номер станка, дисциплина обслуживания ( в СМО ) и т.п.

Количественными называются факторы, характеристики которых выражаются числовым показателем — температура, скорость, вес .

Количественные факторы могут рассматриваться и как качественные : например, проводя наблюдения за системой при двух значениях температуры среды и , ее можно рассматривать как качественный фактор с двумя уровнями.

Различные методы статистического анализа используют факторы разного типа :

Дисперсионный анализ ( ДА ) — качественные

Регрессионный анализ ( РА ) — количественные

Корреляционный анализ ( КА ) — и качественные, и количественные.

Взаимосвязь между факторами X и результатом y может иметь вид :

1. Функциональная зависимость

— неслучайны; — ошибки измерений ( случайны ).

или ; — случайные.

2. Стохастическая зависимость

— с неслучайными факторами

— со случайными факторами

Задачами определения вида кривой для функции и ее параметров занимается регрессионный и корреляционный анализ с использованием метода наименьших квадратов ( МНК ).

Задачами установления факта наличия взаимосвязи занимается дисперсионный, факторный анализ.

Регрессионный анализ применяется в тех случаях, когда необходимо установить вид взаимосвязи между входными и выходными переменными.

Корреляционный анализ применяется тогда, когда необходимо установить наличие и степень линейной взаимосвязи между переменными.

Дисперсионный анализ применяется для определения существенности (несущественности) влияния различных одновременно действующих факторов на результаты наблюдений.

Основы анализа данных

Регрессионный анализ

Основная особенность регрессионного анализа: при его помощи можно получить конкретные сведения о том, какую форму и характер имеет зависимость между исследуемыми переменными.

Последовательность этапов регрессионного анализа

Рассмотрим кратко этапы регрессионного анализа.

  1. Формулировка задачи. На этом этапе формируются предварительные гипотезы о зависимости исследуемых явлений.
  2. Определение зависимых и независимых (объясняющих) переменных.
  3. Сбор статистических данных. Данные должны быть собраны для каждой из переменных, включенных в регрессионную модель.
  4. Формулировка гипотезы о форме связи (простая или множественная, линейная или нелинейная).
  5. Определение функции регрессии (заключается в расчете численных значений параметров уравнения регрессии)
  6. Оценка точности регрессионного анализа.
  7. Интерпретация полученных результатов. Полученные результаты регрессионного анализа сравниваются с предварительными гипотезами. Оценивается корректность и правдоподобие полученных результатов.
  8. Предсказание неизвестных значений зависимой переменной.

При помощи регрессионного анализа возможно решение задачи прогнозирования и классификации. Прогнозные значения вычисляются путем подстановки в уравнение регрессии параметров значений объясняющих переменных. Решение задачи классификации осуществляется таким образом: линия регрессии делит все множество объектов на два класса, и та часть множества, где значение функции больше нуля, принадлежит к одному классу, а та, где оно меньше нуля, — к другому классу.

Задачи регрессионного анализа

Рассмотрим основные задачи регрессионного анализа: установление формы зависимости, определение функции регрессии , оценка неизвестных значений зависимой переменной.

Установление формы зависимости.

Характер и форма зависимости между переменными могут образовывать следующие разновидности регрессии:

  • положительная линейная регрессия (выражается в равномерном росте функции);
  • положительная равноускоренно возрастающая регрессия;
  • положительная равнозамедленно возрастающая регрессия;
  • отрицательная линейная регрессия (выражается в равномерном падении функции);
  • отрицательная равноускоренно убывающая регрессия;
  • отрицательная равнозамедленно убывающая регрессия.

Однако описанные разновидности обычно встречаются не в чистом виде, а в сочетании друг с другом. В таком случае говорят о комбинированных формах регрессии.

Определение функции регрессии.

Вторая задача сводится к выяснению действия на зависимую переменную главных факторов или причин, при неизменных прочих равных условиях, и при условии исключения воздействия на зависимую переменную случайных элементов. Функция регрессии определяется в виде математического уравнения того или иного типа.

Оценка неизвестных значений зависимой переменной.

Решение этой задачи сводится к решению задачи одного из типов:

  • Оценка значений зависимой переменной внутри рассматриваемого интервала исходных данных, т.е. пропущенных значений; при этом решается задача интерполяции.
  • Оценка будущих значений зависимой переменной, т.е. нахождение значений вне заданного интервала исходных данных; при этом решается задача экстраполяции.

Обе задачи решаются путем подстановки в уравнение регрессии найденных оценок параметров значений независимых переменных. Результат решения уравнения представляет собой оценку значения целевой (зависимой) переменной.

Рассмотрим некоторые предположения, на которые опирается регрессионный анализ.

Предположение линейности, т.е. предполагается, что связь между рассматриваемыми переменными является линейной. Так, в рассматриваемом примере мы построили диаграмму рассеивания и смогли увидеть явную линейную связь. Если же на диаграмме рассеивания переменных мы видим явное отсутствие линейной связи, т.е. присутствует нелинейная связь, следует использовать нелинейные методы анализа.

Предположение о нормальности остатков . Оно допускает, что распределение разницы предсказанных и наблюдаемых значений является нормальным. Для визуального определения характера распределения можно воспользоваться гистограммами остатков .

При использовании регрессионного анализа следует учитывать его основное ограничение. Оно состоит в том, что регрессионный анализ позволяет обнаружить лишь зависимости, а не связи, лежащие в основе этих зависимостей.

Регрессионный анализ дает возможность оценить степень связи между переменными путем вычисления предполагаемого значения переменной на основании нескольких известных значений.

Уравнение регрессии выглядит следующим образом: Y=a+b*X

При помощи этого уравнения переменная Y выражается через константу a и угол наклона прямой (или угловой коэффициент) b, умноженный на значение переменной X. Константу a также называют свободным членом, а угловой коэффициент — коэффициентом регрессии или B-коэффициентом.

Читать еще:  Системный анализ как метод исследования

В большинстве случав (если не всегда) наблюдается определенный разброс наблюдений относительно регрессионной прямой.

Остаток — это отклонение отдельной точки (наблюдения) от линии регрессии (предсказанного значения).

Для решения задачи регрессионного анализа в MS Excel выбираем в меню Сервис «Пакет анализа» и инструмент анализа «Регрессия». Задаем входные интервалы X и Y. Входной интервал Y — это диапазон зависимых анализируемых данных, он должен включать один столбец. Входной интервал X — это диапазон независимых данных, которые необходимо проанализировать. Число входных диапазонов должно быть не больше 16.

На выходе процедуры в выходном диапазоне получаем отчет, приведенный в таблице 8.3а — 8.3в.

Сначала рассмотрим верхнюю часть расчетов, представленную в таблице 8.3а, — регрессионную статистику.

Величина R-квадрат , называемая также мерой определенности, характеризует качество полученной регрессионной прямой. Это качество выражается степенью соответствия между исходными данными и регрессионной моделью (расчетными данными). Мера определенности всегда находится в пределах интервала [0;1].

В большинстве случаев значение R-квадрат находится между этими значениями, называемыми экстремальными, т.е. между нулем и единицей.

Если значение R-квадрата близко к единице, это означает, что построенная модель объясняет почти всю изменчивость соответствующих переменных. И наоборот, значение R-квадрата , близкое к нулю, означает плохое качество построенной модели.

В нашем примере мера определенности равна 0,99673, что говорит об очень хорошей подгонке регрессионной прямой к исходным данным.

множественный R — коэффициент множественной корреляции R — выражает степень зависимости независимых переменных (X) и зависимой переменной (Y).

Множественный R равен квадратному корню из коэффициента детерминации, эта величина принимает значения в интервале от нуля до единицы.

В простом линейном регрессионном анализе множественный R равен коэффициенту корреляции Пирсона. Действительно, множественный R в нашем случае равен коэффициенту корреляции Пирсона из предыдущего примера (0,998364).

Теперь рассмотрим среднюю часть расчетов, представленную в таблице 8.3б. Здесь даны коэффициент регрессии b (2,305454545) и смещение по оси ординат, т.е. константа a (2,694545455).

Исходя из расчетов, можем записать уравнение регрессии таким образом:

Направление связи между переменными определяется на основании знаков (отрицательный или положительный) коэффициентов регрессии (коэффициента b).

Если знак при коэффициенте регрессии — положительный, связь зависимой переменной с независимой будет положительной. В нашем случае знак коэффициента регрессии положительный, следовательно, связь также является положительной.

Если знак при коэффициенте регрессии — отрицательный, связь зависимой переменной с независимой является отрицательной (обратной).

В таблице 8.3в. представлены результаты вывода остатков . Для того чтобы эти результаты появились в отчете, необходимо при запуске инструмента «Регрессия» активировать чекбокс «Остатки».

При помощи этой части отчета мы можем видеть отклонения каждой точки от построенной линии регрессии. Наибольшее абсолютное значение остатка в нашем случае — 0,778, наименьшее — 0,043. Для лучшей интерпретации этих данных воспользуемся графиком исходных данных и построенной линией регрессии, представленными на рис. 8.3. Как видим, линия регрессии достаточно точно «подогнана» под значения исходных данных.

Следует учитывать, что рассматриваемый пример является достаточно простым и далеко не всегда возможно качественное построение регрессионной прямой линейного вида.

Осталась нерассмотренной задача оценки неизвестных будущих значений зависимой переменной на основании известных значений независимой переменной, т.е. задача прогнозирования.

Имея уравнение регрессии, задача прогнозирования сводится к решению уравнения Y= x*2,305454545+2,694545455 с известными значениями x. Результаты прогнозирования зависимой переменной Y на шесть шагов вперед представлены в таблице 8.4.

Таким образом, в результате использования регрессионного анализа в пакете Microsoft Excel мы:

  • построили уравнение регрессии;
  • установили форму зависимости и направление связи между переменными — положительная линейная регрессия, которая выражается в равномерном росте функции;
  • установили направление связи между переменными;
  • оценили качество полученной регрессионной прямой;
  • смогли увидеть отклонения расчетных данных от данных исходного набора;
  • предсказали будущие значения зависимой переменной.

Если функция регрессии определена, интерпретирована и обоснована, и оценка точности регрессионного анализа соответствует требованиям, можно считать, что построенная модель и прогнозные значения обладают достаточной надежностью.

Прогнозные значения, полученные таким способом, являются средними значениями, которые можно ожидать.

Выводы

В этой части лекции мы рассмотрели основные характеристики описательной статистики и среди них такие понятия, как среднее значение , медиана , максимум , минимум и другие характеристики вариации данных. Также было кратко рассмотрено понятие выбросов . Рассмотренные в лекции характеристики относятся к так называемому исследовательскому анализу данных, его выводы могут относиться не к генеральной совокупности, а лишь к выборке данных. Исследовательский анализ данных используется для получения первичных выводов и формирования гипотез относительно генеральной совокупности. Также были рассмотрены основы корреляционного и регрессионного анализа, их задачи и возможности практического использования.

Построение графиков и анализ зависимостей

В предыдущем примере, мы получили всего два числа, соответствующие прочности пряжи и неровноте по прочности пряжи. Часто требуется знать не только одиночное значение, но и характер закономерности, которую задает та или иная формула. Для того чтобы проанализировать закономерности, необходимо по выражению (формуле) построить графические зависимости. Рассмотрим построение графических зависимостей на примере все той же формулы проф. А. Н. Соловьева. Исходные данные для построения зависимостей должны быть представлены в виде диапазона значений, кроме значений удельной неровноты пряжи, коэффициента учета состояния оборудования и коэффициента учета способа прядения.

Для задания диапазона значений надо сначала найти в технической литературе (в справочнике по хлопкопрядению) возможные минимальные и максимальные значения всех переменных, входящих в формулу проф. А. Н. Соловьева. Например:

— разрывная нагрузка волокон Рв (сН) – 3…4,5 (сН);

— линейная плотность волокон Тв (Текс) – 103…108, Текс;

— штапельная длина волокон Lв, мм – 31…41 мм;

— линейная плотность пряжи Тпр, Текс – 6…50 Текс;

— коэффициент крутки пряжи аt – зависит от линейной плотности пря-

жи и выбирается по справочнику из таблицы;

Далее исходные данные представляем в виде схемы исходных данных для расчета (рис. 12).

Анализ зависимости прочности пряжи

Удельная неровнота пряжи, Н0

Коэффициент состояния оборудования

Коэффициент учета способа прядения

Разравная нагрузка волокон Рв, сН

Линейная плотность волокон Тв, Текс

Штапельная длина волокон Lв, мм

Линейная плотность пряжи Тпр, Текс

Коэффициент крутки пряжи аt

Поправка на крутку

Прочность пряжи, сН / Текс

Рис. 12. Исходные данные для расчета

Такая таблица составляется, как и раньше. Выделяется группа ячеек, объединяется и вводится их содержимое. Направление текста в клетках устанавливается при помощи указания формата ячеек. На выделенной клетке нажимаем правой кнопкой мыши и в контекстном меню выбираем пункт — формат ячеек. В появившемся окне выбираем вкладку — выравнивание и устанавливаем направление текста (рис. 13).

Теперь на листе (рис. 12) надо указать диапазон значений. Для примера построим зависимость прочности пряжи от величины разрывной нагруз-

Читать еще:  Схема анализа деятельности

ки волокон. Для этого столбец прочности волокон должен изменяться от минимального до максимального значения с некоторым шагом. Значения других переменных должно быть постоянно. Кроме того, как и раньше, должны проводиться вычисления критического значения крутки и выбор величины поправки на крутку. Сначала, для примера, заполним столбец значений для линейной плотности волокон. Пусть там во всех клетках будет число 103. Конечно, можно все клетки заполнить вручную, но можно для экономии времени воспользоваться маркером заполнения.

Удобным средством занесения информации является так называемый маркер заполнения, находящийся, как правило, в правом нижнем углу активной ячейки. При помещении указателя мыши в область маркера заполнения указатель принимает форму черного креста (рис. 14).

Наиболее часто маркер заполнения используется для заполнения информацией последовательного ряда ячеек на основе информации, находящейся в одной или нескольких выделенных ячейках, расположенных рядом с заполняемыми ячейками.

Механизм использования маркера заполнения во всех случаях примерно одинаков и состоит в следующем:

— выделяется ячейка или прямоугольный диапазон, содержащий исходную информацию, подлежащую распространению;

— указатель мыши подводится к маркеру заполнения;

— маркер заполнения захватывается с помощью левой или правой кнопки мыши и протаскивается в нужном направлении, пока не будет «охвачена» подлежащая заполнению область. Текущее положение области захвата отмечается серой рамкой, в углу которой в маленьком окне высвечивается значение, которое будет помещено в крайнюю ячейку охватываемой области;

— нажатая кнопка мыши опускается.

— если при захвате маркера заполнения была нажата правая кнопка мыши, то появляется контекстное меню, откуда можно выбрать способ заполнения охваченной, если левая — Excel самостоятельно заполняет охваченную область (выбирая вариант, действующий по умолчанию).

Аналогичным образом можно распространять из ячейки на целый (прямоугольный) диапазон не только находящееся там значение, но и формулу. Но если формула содержит абсолютные ссылки, они останутся неизменными, если же формула содержит относительные ссылки, они будут изменены таким же образом, как если бы формула была просто скопирована в ячейки диапазона.

Если захват маркера заполнения был произведен с помощью правой кнопки мыши, то после протяжки и освобождения кнопки на экране появится контекстное меню примерно такого вида (рис. 15). Пункты меню

могут зависеть от содержимого исходной области:

— Заполнить(Fill Series) — результат в точности соответствует тому, который получается при протягивании маркера заполнения с помощью левой кнопки мыши — т. е. производится автозаполнение диапазона, охваченного при протяжке маркера заполнения (с копированием форматов исходного диапазона).

Заполнить форматы(Fill Formats) — копирование форматов исходного диапазона. При последующем вводе данных в эти ячейки получится вид, подобный изображению исходной ячейки.

Заполнить значения(Fill Values) — заполнение производится как при выполнении команды Заполнить(Fill Series), но без копирования форматов.

Заполнить по дням (Fill Days), Заполнить по рабочим дням (Fill WeekDays),Заполнить по месяцам (Fill Months), Заполнить по годам (Fill

Years) — команды могут быть использованы для указания Excel шага при распространении последовательности дат.

— Линейное приближение (Linear Trend) — для числовых данных по действию аналогично описанной выше команде Заполнить (Fill Series), для данных других типов не применяется.

— Экспоненциальное приближение (Growth Trend) — охваченный диапазон будет заполнен значениями, полученными с использованием экспо-

ненциального приближения ячеек исходного диапазона, при этом значения исходного диапазона не будут изменены.

— Прогрессия (Series) — при выборе данной команды на экране появляется окно Прогрессия (Series). Дальнейшее задание параметров рассматривается ниже в разделе «Автозаполнение с помощью команд».

Итак, давайте заполним ячейки нашей таблицы. Вводим в первую ячейку для линейной плотности волокон число 103. Далее наводим указатель мыши на правый нижний угол клетки, где находится число 103. Указатель мыши должен принять вид черного перекрестия (рис. 14). Далее, нажимаем правую или левую кнопку мыши и, не отпуская, протаскиваем вниз до нужной конечной клетки. Кнопку отпускаем, и тогда диапазон заполнен одним и тем же числом 103 (рис. 16).

Аналогичные действия проделаем со столбцами для штапельной длины волокон, линейной плотности пряжи и коэффициентом крутки пряжи.

Столбец со значениями разрывной нагрузки волокон должен содержать постепенно возрастающие значения – от минимального 3 (сН) до максимального значения 4,5 (сН). Чтобы ввести такой диапазон чисел, в ячейку В24 введем формулу = В23 + ( (4,5 — В23) / 7). Выражение в скобках –это величина шага разбивки диапазона. Далее, используя маркер заполнения, заполняем диапазон ячеек В24 – В31. Результат перечисленных действий приведен на рис. 17.

Теперь надо ввести формулы для расчета критической крутки пряжи в ячейки столбца Н23 – Н31. Для этого надо ввести формулу в ячейку Н23 и заполнить остальные клетки столбца. В ячейку G23 (рис. 14) надо ввести следующую формулу — = 0,316 * ( ( (1120 – 70 * B23) * B23 / D23) + (57,2 / КОРЕНЬ (E23) ). Далее, используя маркер заполнения, заполняем диапазон ячеек G24 – G31.

Аналогичные действия выполняем для определения поправки на крутку – К. В ячейку Н23 надо ввести функцию ЕСЛИ — = ЕСЛИ ( (F23 — G23)

Построение и анализ эмпирических зависимостей методом центра неопределённости Текст научной статьи по специальности «Математика»

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Оскорбин Николай Михайлович, Максимов Александр Васильевич, Жилин Сергей Иванович

В статье дается теоретическое обоснование метода построения и анализа зависимостей, использующего оценки интервалов ошибок наблюдений за входными и выходными переменными. Дается модельное представление, описывается программное обеспечение и опыт применения рассматриваемого подхода в зада¬чах эмпирического моделирования

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Оскорбин Николай Михайлович, Максимов Александр Васильевич, Жилин Сергей Иванович

Construction and analysis of empirical dependencies using indeterminancy center method

The article presents theoretical foundation of dependencies construction and analysis method based upon interval estimations of errors of input and output variables. The model, the software and the developed approach application techniques in the empirical modeling are described.

Текст научной работы на тему «Построение и анализ эмпирических зависимостей методом центра неопределённости»

ILM Оскорбин. A.B. Максимов. С.И. Жилин

Построение и анализ эмпирических зависимостей методом центра неопределенности

Рассматривается задача построения и анализа эмпирической зависимости у = /(а, х) скалярной переменой у, (у G Л) и факторами х G Rn, проводимых с использованием данных (yj,Xj), j = 1. ,N, полученных в N наблюдениях. Наряду с наблюдениями имеется доступная для использования дополнительная (априорная) информация о виде зависимости у = /(а, х) и ее свойствах, условиях наблюдения, характере изменения переменных и др. Задача построения зависимости сводится к выбору на основе всей имеющейся непротиворечивой информации вида функции / и определению оценок вектора параметров а.

Читать еще:  Анализ материальных ресурсов

Задача анализа зависимости включает в себя выявление и устранение противоречий в исходных данных, проверку гипотез о виде искомой зависимости (линейная, квадратичная и др.), ее свойствах и оценку степени работоспособности найденной функции, т.е. пригодности эмпирической зависимости на практике. Представляют интерес также количественные или качественные суждения о ценности совокупности имеющейся информации и отдельных ее составляющих, о скорости ее старения, способах обновления исходных данных и т.д.

Перечисленные задачи анализа эмпирических зависимостей в настоящее время еще далеки от точных математических постановок. Эти постановки могут быть получены с использованием концепции информационных систем [1-3]. В работе [3] приведены способы выявления противоречий в совокупности информации, что позволяет выделять ситуации при построении эмпирических моделей, в которых форма зависимости или уровни погрешностей измерения переменных выбраны неверно. Очевидно, что прежде чем проводить обработку, необходимо устранить противоречивость наблюдений и исходных предположений. В данной работе рассматривается фрагмент общей задачи построения и анализа зависимостей, который включает определение оценок параметров искомой зависимости в рамках фиксированной ее структуры и интервалов достоверности найденных значений этих параметров.

Традиционно задачи построения и анализа эмпирических зависимостей решаются метода-

ми теории вероятностей и математической статистики, в частности, методами регрессионного анализа. В этом случае предполагается, что вид функции искомой зависимости задан верно, а невязки е = у — /(а, х) имеют нормальное распределение. Эти предположения во многих прикладных задачах не выполняются [1, с. 140]. Кроме того, недостаточно полно используется априорная информация. Устранение противоречий в исходной информации не проводится. Выявлено, что в регрессионном анализе оценки пригодности найденной эмпирической зависимости искажаются условиями проведения эксперимента [1, с. 147]. Эти и другие обстоятельства ограничивают область применимости вероятностных методов в задачах обработки результатов наблюдений.

В данной работе используется нестатистический подход к построению эмпирических зависимостей, который предложен Л.В. Канторовичем [2, с. 701], развит в работах [3-10] и использует возможности линейного программирования для записи условий обработки данных с учетом всех имеющихся информационных соотношений между значениями наблюдаемых переменных. Вся совокупность способов обоснований и приемов построения и анализа эмпирических зависимостей на основе предлагаемого подхода названа методом центра неопределенности (МЦН) [3, с. 64-69].

В этом методе оценки ô,-, (г = 0,1. п) вектора неизвестных коэффициентов а = (ао, се. , ап) искомой линейной многофакторной зависимости

/(a, х) = ад + сеХ + . + а„шЯ) х G X (1)

отыскиваются по таблице экспериментальных данных, полученных в N наблюдениях

(yiyXij. , xnj), j = 1. , N, (2)

в каждом из которых значение искомой функции /(a, Xj) при фиксированных значениях вектора факторов Xj = (xj,x2j. , xnj) удовлетворяет неравенству

Vj — ej п), выполнимость предположений о нормальности, независимости и др. [1, с. 140]. В случае невыполнения этих предположений МНК не содержит способов их контроля. Используемый в этом методе анализ остатков теоретически не обоснован и не гарантирует даже обнаружения выбросов.

В отличие от МНК в МЦН этапы построения модели и ее анализ не разделяются и выполняются с использованием системы неравенств (3) методами линейного программирования. При наличии противоречий в исходных данных решения задач оценки параметров и анализ не проводят, поскольку в этом случае система не-

равенств (3) становится несовместной (A(JV) — пустое множество), и предпринимаются усилия по устранению противоречий либо делаются выводы о несоответствии принятого вида функции информационным взаимосвязям моделируемого объекта. Это обстоятельство используется для проверки и других гипотез. Таким образом, в вероятностном подходе используется информация о согласованности наблюдений (принцип максимального правдоподобия), а в МЦН — информация о их непротиворечивости.

Сформулируем далее две задачи обработки данных МЦН: задачу оценивания значения функции /(а, х) при любом фиксированном х £ X и задачу оценивания значения любого из коэффициентов а,-, i = 0. , п. Первая задача сводится к нахождению двух функций уп(х) и ув(х) путем решения следующих двух задач линейного программирования:

уп(х) = min (ао + аХ + . + апхп); aeA(N)

ув(х) = тах (ао + аХ + . + апхп). aeA(N)

При решении второй задачи — задачи оценивания параметров зависимости (1) — находим af и af из условий

Для искомых величин в сформулированных двух задачах имеем:

Тема 2. Статистические исследования зависимостей.

ОК-10, ПК-2,ПК-9,ПК-11.

Корреляция, факторный анализ и регрессия. Понятие корреляционной зависимости. Характеристика корреляционной связи по тесноте и форме. Изучение корреляционных зависимостей табличным, графическим и аналитическими методами. Парная корреляция. Последовательность вычислительных операций, примеры. Значимость коэффициента корреляции. Использование корреляционной связи для сравнения выборок.

Литература раздел 7 [1-3 , 13]

Лекция 4. Стохастические модели

План лекции

1. Экспериментально-статистические методы математического описания.

2. Основные понятия теории случайных величин.

3. Построение и исследование регрессионных моделей.

4. Регрессионный анализ при пассивном и активном эксперименте.

Экспериментально-статистические методы математического описания

Наиболее распространенными экспериментально-статистическими методами математического описания являются регрессионный анализ (применительно к активному и пассивному эксперименту), динамический корреляционный анализ (анализ случайных процессов), идентификация и оценивание параметров. Они нашли широкое применение при построении прогнозирующих моделей металлургических процессов.

Все процессы, происходящие в природе, являются результатом взаимодействия многих факторов. Для того чтобы изучить эти процессы и в дальнейшем ими управлять, необходимо выяснить, какую роль в рассматриваемом процессе играет каждый фактор в отдельности. Таким образом, математические методы изучения взаимодействующих факторов требуют умения выражать действия различных факторов количественно. Однако даже самый тщательно подготовленный эксперимент не позволяет выделить интересующий нас фактор в чистом виде, т.к. всегда присутствует элемент случайности, например изменение температуры воздуха.

В основе методологии построения математических моделей стохастических процессов и зависимостей, отражающих взаимосвязи между экспериментальными данными, лежит теория случайных величин и регрессионный

Основные понятия теории случайных величин

Случайной называется величина, которая в результате одного и того же опыта может принять то или иное заранее неизвестное значение. Случайные величины могут быть дискретными (прерывными) и непрерывными. Дискретные случайные величины принимают изолированные числовые значения, отделенные друг от друга конечными интервалами (например, число попаданий при нескольких выстрелах, число появлений герба при нескольких подбрасываниях монеты). Значения непрерывных случайных величин не могут быть заранее перечислены и непрерывно заполняют некоторый промежуток (например, ошибка измерения, дальность полета снаряда).

Всякое соответствие между возможными значениями случайной величины и вероятностями, с которыми эти значения принимаются, называется законом распределения случайной величины. Закон распределения количественно может выражаться в следующих формах: табличной, графической и аналитической.

При количественном описании закона распределения вероятностей можно воспользоваться вероятностью события X

Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector